Maîtriser les techniques d'ajustement : Un guide pour le changement de variables

Dans cette vidéo, le spectateur apprendra comment effectuer un ajustement en utilisant un changement de variables pour résumer les informations d'un nuage de points. Généralement, une droite de régression est tracée pour résumer les points de données, permettant des approximations et des extrapolations. Cependant, dans certains cas, lorsque le nuage de points n'est pas linéaire, une courbe peut être plus appropriée pour l'ajustement.

Le but de l'ajustement des variables est de permettre des approximations, interpolations et extrapolations précises. En modifiant les variables et en modifiant l'une des deux variables dans un ensemble de données, une nouvelle série peut être créée qui aligne les points de données pour un ajustement plus facile.

Pour illustrer le concept, un scénario est présenté où la population d'une grande ville a été enregistrée sur 50 ans à des intervalles de cinq ans. Les données, représentées sous forme de coordonnées x-y, montrent la population au début et à la fin de la période de 50 ans. En traçant ces points sur un graphique, la nécessité d'ajustements variables devient évidente.

Le processus de construction d'un nuage de points implique de tracer les points de données, chacun représentant une paire de coordonnées de valeurs x et y. Dans l'exemple fourni, les points de données de la population de la ville sur 50 ans sont tracés pour visualiser la tendance.

En examinant le nuage de points, il devient clair qu'un ajustement linéaire, représenté par une droite, n'est pas approprié en raison de la nature non linéaire des points de données. Alors qu'un ajustement linéaire peut fonctionner pour une partie du graphique, il échoue à capturer précisément la tendance globale.

Pour résoudre la non-linéarité des données, il est recommandé de changer de variables. En définissant une nouvelle variable z comme le logarithme de y, une nouvelle série de valeurs de z peut être calculée à partir des valeurs originales de y. Cette transformation permet d'effectuer un ajustement plus approprié en utilisant un nouveau jeu de données de valeurs x, y et z.

Le conférencier calcule la première valeur dans le tableau, z1, qui est de 1,29. Cela correspond à une nouvelle série statistique avec deux variables, x et y. La valeur suivante, z2, est également de 1,29 en raison de y2 étant de 19,4. La troisième valeur, z3, est calculée comme le logarithme de y3, qui est de 27,6, ce qui donne environ 1,44. Le conférencier continue de calculer toutes les valeurs correspondantes pour créer un nouveau tableau pour la série statistique.

Le locuteur est invité à représenter un nouvel ensemble de points de données composé de x, y et z. En construisant les points de données, un ajustement linéaire devient pertinent. Le locuteur prévoit d'utiliser la méthode des moindres carrés pour représenter une ligne d'ajustement dans les nouveaux points de données.

À l'aide d'une calculatrice, le conférencier entre les variables de la série statistique, x et y, pour calculer l'équation de la droite d'ajustement. L'équation est sous la forme z = ax + b, où a est d'environ 0,0214 et b est d'environ 1,2472. Cette équation est utilisée pour construire la droite passant par les points de données.

Le locuteur explique comment tracer des points sur un graphique. Ils commencent par placer un point à l'origine sur l'axe des y avec des coordonnées d'environ 1,24. Ensuite, ils choisissent un autre point avec x = 30 et calculent sa valeur y correspondante à environ 1,9. Ces points sont utilisés pour tracer une droite de régression sur le graphique.

Le conférencier discute de la dérivation d'une relation entre les variables y et x. Ils utilisent d'abord l'équation de la droite de régression et introduisent ensuite une autre relation à partir de l'énoncé donné. En manipulant les équations, ils arrivent à une relation qui lie y et x à travers des fonctions logarithmiques.

Pour exprimer y en fonction de x, l'orateur manipule les équations pour introduire une puissance de 10. En transformant les équations en utilisant les propriétés exponentielles, ils expriment avec succès y comme une fonction de x, fournissant une relation mathématique claire entre les variables.

La fonction f, exprimée comme f(2x) = 17,4864 * 10^214x, est utilisée pour ajuster le premier ensemble de points de données. En traçant la courbe de la fonction f, qui s'ajuste étroitement aux points de données, cela permet un ajustement précis et une approximation des données.

Pour extrapoler la population cinq ans après l'étude, la fonction f est utilisée. En calculant f(55), l'estimation de la population est d'environ 263 000 habitants. Cette extrapolation suggère qu'à la fin de l'étude, la population de la ville sera d'environ 263 000 habitants.