Entendiendo la Determinación del Rango de una Función: Una Guía Completa
Aprende cómo determinar el rango de una función estableciendo el dominio, identificando puntos críticos y creando una tabla de valores.
Video Summary
Determinar el rango de una función implica un proceso sistemático que comienza con el establecimiento del dominio. Esto se logra asegurando que la expresión dentro de la raíz cuadrada sea no negativa, sentando las bases para cálculos posteriores. Los factores de la desigualdad cuadrática se factorizan cuidadosamente, y se identifican los puntos críticos para señalar los valores clave en el comportamiento de la función.
Para determinar regiones positivas, se seleccionan valores de intervalos y se aplica la regla de los signos. Los puntos críticos se incluyen en el conjunto de soluciones si la desigualdad es mayor o igual, proporcionando una comprensión completa del comportamiento de la función.
El dominio de la función abarca desde menos infinito hasta -1 (intervalo cerrado) y desde 1 hasta más infinito (intervalo abierto), encapsulando los valores reales que la función puede tomar.
Un paso crucial en el proceso es la creación de una tabla de valores. Al elegir valores del dominio y sustituirlos en la función, se obtienen valores correspondientes de y. Esta tabla sirve como una representación visual de cómo se comporta la función en diferentes valores de entrada.
La discusión se adentra en el concepto de determinar valores de función reemplazando números positivos o negativos en la ecuación. Esto destaca el hecho de que elevar al cuadrado números reales siempre da resultados positivos, lo que conduce a resultados consistentes independientemente de la entrada.
Para ejemplificar el proceso, se realizan cálculos para varios valores de x, lo que resulta en la creación de una tabla detallada de valores. Estos valores luego se grafican utilizando GeoGebra, una herramienta poderosa para visualizar funciones matemáticas.
Basándose en la ubicación del gráfico en el plano cartesiano, se determina el rango de la función, proporcionando valiosas ideas sobre el comportamiento y la salida de la función.
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Keypoints
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Determinando el rango de la función
Para determinar el rango de la función, el primer paso es establecer el dominio asegurándose de que la expresión dentro de la raíz cuadrada, x²-1, sea mayor o igual a cero para evitar problemas con raíces de números reales.
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Resolviendo desigualdad cuadrática
El siguiente paso implica resolver la desigualdad cuadrática x²-1 ≥ 0 factorizando el lado izquierdo, lo que resulta en x+1 multiplicado por x-1.
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Identificando Puntos Críticos
Puntos críticos, donde cada factor se vuelve cero, se encuentran al establecer x+1 = 0 y x-1 = 0, dando como resultado puntos críticos en x = -1 y x = 1.
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Localización de Puntos Críticos en la Recta Numérica Real
Una recta numérica real se utiliza para representar los valores de x, con puntos críticos (-1, 1) marcados como referencia.
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Evaluando Intervalos
Los valores de x se seleccionan de los intervalos (-1,∞), (-1,1) y (1,∞) para evaluar la desigualdad en cada intervalo.
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Determinar el signo de los intervalos
Aplicando la regla de los signos, se evalúan los intervalos para determinar el signo de la expresión en cada intervalo, asegurando que permanezca positiva para que la desigualdad sea verdadera.
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Inclusión de Puntos Críticos
La decisión de incluir o excluir los puntos críticos (-1, 1) en el conjunto solución de la desigualdad depende de si satisfacen las condiciones de la desigualdad.
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Estableciendo el Dominio de una Función
Al tratar con desigualdades como la dada, donde hay un signo de mayor o igual, los valores son parte del conjunto solución. Estos valores se representan con un círculo relleno para indicar cierre. El dominio de la función f se puede determinar encontrando el conjunto solución de la desigualdad cuadrática analizada. En este caso, consiste en valores reales de x pertenecientes al intervalo de menos infinito a menos uno (abierto en menos infinito y cerrado en menos uno) unido con el intervalo de uno a más infinito (cerrado en uno y abierto en más infinito), formando el dominio de la función.
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Creando una tabla de valores
El siguiente paso implica crear una tabla de valores. Se establecen columnas para elegir valores de X y calcular los valores correspondientes de Y en la función dada. Los valores de X deben ser seleccionados del dominio obtenido anteriormente. Se pueden elegir valores de X del primer intervalo, que va desde menos infinito hasta menos uno, comenzando en menos uno y moviéndose hacia la izquierda. De manera similar, se pueden seleccionar valores del segundo intervalo, que va desde uno hasta más infinito, comenzando en uno y moviéndose hacia la derecha. Luego, cada valor de X se sustituye en la función para calcular el valor correspondiente de Y.
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Observaciones sobre los valores de función
Al sustituir valores en la función, se pueden hacer observaciones interesantes. Por ejemplo, reemplazar -1 o 1 en la función produce el mismo resultado para Y. Esto se debe a que un número real elevado al cuadrado siempre da como resultado un valor positivo. Por lo tanto, (-1) al cuadrado es igual a 1, dando el mismo resultado que 1 al cuadrado. Este patrón continúa para otros valores, mostrando la consistencia de la salida de la función.
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Coherencia en la salida de la función
La función mantiene consistencia en su resultado para diferentes valores de entrada. Por ejemplo, al sustituir -2 o 2 en la función, el valor de Y resultante sigue siendo el mismo. Esta consistencia surge de la naturaleza de los números reales al cuadrado siempre produciendo resultados positivos, lo que lleva al mismo valor de Y para los valores de X correspondientes.
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Calculando valores decimales
Para obtener valores decimales para las coordenadas Y correspondientes a valores específicos de X, se realizan cálculos. Al evaluar la función para valores de X como -2, 2, -3, 3, -4, 4, -5 y 5, se determinan los equivalentes decimales de las coordenadas Y. Estos cálculos implican elevar al cuadrado los valores de X, restar 1 y encontrar la raíz cuadrada del resultado para obtener los valores de Y en forma decimal.
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Cálculo de la raíz cuadrada
La raíz cuadrada de 24 se calcula aproximadamente como -4.90 usando una calculadora.
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Tabla de Valores
Se construye una tabla de valores para la función seleccionando valores de X de su dominio.
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Construcción de gráficos
El gráfico de la función se construye en un plano cartesiano ubicando los pares X, Y obtenidos de la tabla de valores.
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Determinación de rango
El rango de la función se determina a partir del gráfico en el plano cartesiano, donde los valores de Y van desde cero hasta menos infinito.
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Rango de la Función
El rango de la función Rf consiste en valores de Y en el intervalo desde menos infinito (abierto) hasta cero (cerrado), a pesar de comenzar gráficamente desde cero y extenderse hacia menos infinito.
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Usando la Técnica de la Lámpara
La técnica de la lámpara se emplea para confirmar el dominio y el rango de la función gráficamente. Al iluminar una lámpara hacia abajo, se verifica que el dominio va desde menos infinito hasta -1 (cerrado) unión con 1 (cerrado) hasta más infinito. Al iluminar la lámpara horizontalmente se confirma que el rango va desde cero hasta menos infinito.