Comprendiendo el Teorema de Vallés y sus Aplicaciones en Cálculos de Probabilidad

Jorge de Mate Móvil introduce el tema del día, que es el análisis del Teorema de Bayes. Menciona que el teorema tiene diversas aplicaciones en tecnología, negocios y medicina, especialmente en el cálculo de probabilidades relacionadas con enfermedades como el VIH y el cáncer.

El Teorema de Bayes establece que la probabilidad del evento A dado que ha ocurrido el evento B es igual a la probabilidad del evento A multiplicada por la probabilidad del evento B dado el evento A, dividida por la probabilidad del evento B. Comprender el orden de los eventos es crucial para aplicar correctamente el teorema.

Para calcular la probabilidad del evento A dado el evento B utilizando el Teorema de Bayes, se debe seguir un orden específico: primero, escribir el esqueleto del teorema, luego completar los espacios en el orden de los eventos. Esto asegura la correcta aplicación del teorema.

Se da un ejemplo donde se calcula la probabilidad de que una persona tenga fiebre dado que tiene la gripe utilizando el Teorema de Bayes. Siguiendo el orden correcto de los eventos, la probabilidad se determina multiplicando las probabilidades individuales y dividiendo por la probabilidad de tener la gripe.

Jorge comparte su experiencia personal como médico donde el Teorema de Bayes ha sido fundamental en el diagnóstico de pacientes. Menciona haber utilizado el teorema en varios escenarios médicos, resaltando su importancia práctica en el campo de la medicina.

En la oficina de Jorge, el 40% de los pacientes simulan enfermedades para obtener una baja médica, especialmente durante las temporadas de la Champions League y la Copa del Mundo.

El 10% de los pacientes en la oficina de Jorge son hombres, lo que afecta a los cálculos de probabilidad.

Dado que un paciente simula una enfermedad, la probabilidad de que sea un hombre es del 50%.

La probabilidad de que un paciente sea hombre dado que finge una enfermedad también es del 50%, lo que muestra que el orden de los factores no afecta el resultado.

La discusión se centra en el cálculo de la probabilidad condicional, enfatizando que no es un proceso de simple multiplicación. Se destaca que la propiedad conmutativa no se aplica en este contexto. Se da un ejemplo donde la probabilidad de que un paciente tenga una enfermedad dada cierta condición es 0.5, y la tarea es calcular la probabilidad de que el paciente sea hombre dado que tiene la enfermedad. Se hace hincapié en la importancia de entender la diferencia entre estas probabilidades.

El orador introduce la aplicación del Teorema de Bayes para calcular la probabilidad de que un paciente sea hombre dado una condición específica. El teorema se explica como un método para derivar probabilidades de eventos basados en eventos relacionados. Se detalla el proceso paso a paso de aplicar el teorema, que implica completar espacios con probabilidades relevantes y luego sustituir valores reales para calcular la probabilidad final.

Se demuestra un cálculo de ejemplo donde se calcula la probabilidad de que un paciente sea hombre dado una enfermedad. Las probabilidades involucradas son: la probabilidad de que un paciente sea hombre es 0.1, la probabilidad de que un paciente tenga la enfermedad dado que es hombre es 0.5, y la probabilidad de que un paciente tenga la enfermedad es 0.4. El cálculo se realiza meticulosamente, mostrando el proceso paso a paso y el resultado final de 0.05.

Se explica una técnica de división para dividir números con decimales. Se introduce la 'técnica 523', donde los decimales se ajustan para asegurar que ambos números tengan la misma cantidad de lugares decimales antes de la división. Se proporciona un ejemplo para ilustrar el proceso, asegurando claridad en entender cómo aplicar la técnica de manera efectiva.

Al calcular probabilidades, es esencial simplificar fracciones eliminando ceros innecesarios. Por ejemplo, en el cálculo de 5 de 40, simplificar 5/40 a 1/8 hace que el cálculo sea más fácil y manejable.

La probabilidad de que un paciente sea hombre dado que tiene una enfermedad se calcula como 1/8 o 0.125. Esto también se puede expresar como 12.5% al multiplicarlo por 100%. La fórmula utilizada aquí es el teorema de Bayes.

En un escenario donde hay dos especies de peces (azul y rojo) con diferentes distribuciones de género, la probabilidad de seleccionar un pez hembra de la especie azul se puede calcular utilizando un diagrama de árbol para tener en cuenta múltiples eventos y probabilidades.

La probabilidad de seleccionar un pez del tanque especial está determinada por el porcentaje de cada especie de pez. Con un 40% de los peces siendo de la especie roja, hay un 40% de probabilidad de seleccionar un pez de esa especie.

Al seleccionar aleatoriamente un pez del tanque, hay una probabilidad de 0.4 de seleccionar un pez azul, ya que el 40% de los peces son de la especie azul.

Con el 60% de los peces en el tanque siendo de la especie roja, la probabilidad de seleccionar un pez rojo al azar es de 0.6.

En las especies de peces azules, el 30% son machos y el 30% son hembras. Esto lleva a un diagrama de ramificación con caminos separados para los peces machos y hembras.

Cuando se selecciona un pez de la especie azul, hay un 30% de probabilidad de seleccionar un pez macho, indicado por el color de su aleta dorsal.

Para las hembras de pez azul, la probabilidad de selección es 0.7, ya que la probabilidad total de seleccionar un pez azul macho o hembra debe sumar 1 o 100%.

En las especies de peces rojos, el 40% son hembras. Esto lleva a una separación entre peces macho y hembra dentro de esta especie también.

La especie roja discutida tiene una característica única donde los machos tienen una aleta dorsal negra, mientras que las hembras tienen una aleta dorsal amarilla. Esta distinción ayuda a identificar el género del pez.

Cuando se selecciona un pez de especie roja, hay un 40% de probabilidad de que sea hembra y un 60% de probabilidad de que sea macho. Estas probabilidades son cruciales para cálculos posteriores.

Después de establecer las probabilidades para los peces de especies rojas macho y hembra, se completa el diagrama de árbol. Este diagrama se utilizará para cálculos posteriores.

Para calcular la probabilidad de que un pez sea de la especie azul al seleccionar un pez hembra, se consideran las probabilidades de las especies. Este cálculo implica utilizar las probabilidades del diagrama de árbol.

El Teorema de Bayes se aplica para determinar la probabilidad de que un pez sea hembra dado que es de la especie azul. Esto implica calcular probabilidades condicionales basadas en la información proporcionada en el diagrama de árbol.

El orador explica el proceso de calcular probabilidades moviéndose de arriba abajo y de izquierda a derecha. Mencionan la multiplicación de probabilidades a medida que avanzan por los caminos para llegar a diferentes resultados. Se asignan probabilidades específicas a cada paso, como 0.4 y 0.7, y se multiplican secuencialmente para determinar la probabilidad final.

Después de multiplicar todas las probabilidades individuales, el hablante demuestra el cálculo de la probabilidad final. Muestran la multiplicación paso a paso de valores como 0.4, 0.7, 0.6 y 0.4 para llegar a la probabilidad final de 0.5385, que se redondea a 0.54. El hablante también menciona la conversión de este valor a un porcentaje, resultando en 53.85%.

El orador comparte una anécdota personal sobre la lucha por entender el Teorema de Valle durante sus días universitarios. A pesar de no comprender la fórmula o teorema, revelan un truco que utilizaron para resolver problemas relacionados con el teorema sin aplicarlo directamente. Esta experiencia destaca la importancia de encontrar enfoques alternativos para resolver problemas.

El orador introduce el concepto de resolver problemas relacionados con el teorema de Valles sin utilizar el teorema en sí. En su lugar, proponen utilizar la fórmula simple para calcular probabilidades, que es la probabilidad de un evento es igual al número de casos favorables del evento dividido por el número total de casos posibles.

El orador enfatiza la fiabilidad de la fórmula de probabilidad, afirmando que nunca fallará al resolver problemas. Explican que la probabilidad de que ocurra un evento se determina por el número de casos favorables dividido por el número total de casos posibles.

El orador cambia el enfoque al calcular la probabilidad de un evento dado que otro evento ha ocurrido. Lo ilustran dividiendo el número de casos favorables entre el número total de casos posibles, enfatizando la naturaleza secuencial del cálculo.

El orador explica el cálculo de los casos totales posibles, representados por 'h', que incluye tanto a hombres como a mujeres. Aclaran que 'h' significa el número total de casos posibles, siendo las mujeres el único género relevante para el escenario actual.

El orador proporciona un ejemplo detallado de cómo calcular probabilidades considerando solo a las mujeres en el escenario. Caminan a través del proceso de cálculo, multiplicando probabilidades de izquierda a derecha y enfatizando la exclusión de los hombres del cálculo.

El orador enfatiza centrarse únicamente en analizar las hembras de pez azul para el próximo trabajo. Esta decisión excluye a otras hembras de pez para el análisis.

La hembra del pez de la especie azul se destaca como representante del número de casos favorables en el análisis.

Para llegar a la hembra del pez de la especie azul, se sigue una secuencia de probabilidades, comenzando con 0.4 y luego 0.7. La multiplicación de estas probabilidades lleva al resultado deseado.

El orador demuestra resolver un problema relacionado con el teorema de Valle sin usar realmente el teorema en sí mismo. Este enfoque implica un truco ingenioso para lograr la solución.

La discusión se centra en calcular la probabilidad de seleccionar peces macho y determinar su especie. Se realizan cálculos específicos utilizando un diagrama de árbol de probabilidad para llegar a las probabilidades deseadas.

La probabilidad de que ocurra un evento de cubo en hielo se calcula de la siguiente manera: 0.4 x 0.3 = 0.12. Teniendo en cuenta los decimales, el cálculo implica 0.4 x 0.3 = 0.12. Al dividir 0.12 entre 0.48, se determina que la probabilidad de seleccionar un pez soldado macho es de 0.25 o 25%.

Un método alternativo para calcular la probabilidad sin usar el teorema de Bayes implica determinar el número de casos favorables para un evento dividido por el número total de casos posibles. En el contexto de seleccionar un pez soldado macho, la probabilidad se calcula como el número de casos favorables dividido por el total de casos posibles, dando como resultado 0.25 o 25%.

El orador discute el proceso de encontrar peces macho en el acuario, mencionando la presencia de dos peces macho y el camino para llegar a ellos. Probabilidades de 0.4 y 0.3 están asociadas con cada pez macho, lo que lleva a una multiplicación de 0.4 x 0.3.

La discusión se centra en calcular el número de casos favorables, específicamente enfocándose en los casos donde está presente el pez macho azul. El cálculo de probabilidad implica seguir un camino con probabilidades de 0.4 y 0.3, resultando en una probabilidad final de 0.12.

El orador menciona dos métodos para resolver el problema, destacando que la elección entre ellos depende de la preferencia personal. Un método implica el uso universitario, mientras que el otro método se utiliza para explicar el teorema de los valles.

La discusión se adentra en una forma más compleja del teorema de los valles, contrastándola con la versión más simple discutida anteriormente. La forma extendida se encuentra comúnmente en muchos libros de texto, indicando una exploración más profunda del tema.

El orador proporciona una explicación detallada del proceso de cálculo de probabilidades, enfatizando la multiplicación de probabilidades a lo largo de caminos específicos para llegar a los peces macho. El cálculo implica transitar entre ramas y multiplicar probabilidades para determinar el resultado final.

El orador menciona que no pueden hacer nada más en un lado e instruye a moverse a otro lado. Se refieren a un acuario donde hay peces de especies azules y rojas. Se propone un experimento simple donde se extrae un pez del acuario para determinar su especie, ya sea azul o roja.

Se discuten dos posibles resultados: obtener un pez de especie azul (Evento A1) y obtener un pez de especie roja (Evento A2). El hablante enfatiza en enfocarse solo en la especie, no en el género. Los resultados están claramente definidos para cada evento.

La discusión se centra en conjuntos, donde un conjunto contiene peces azules y el otro conjunto contiene peces rojos. Combinar los conjuntos resulta en todo el acuario. La intersección de los conjuntos que contienen peces azules y rojos resulta en un conjunto vacío, indicando que no hay elementos en común.

Pasando de conjuntos a eventos, el orador explica que la unión de los eventos A1 y A2 resulta en el espacio muestral, representando todos los posibles resultados. El espacio muestral abarca todos los resultados del experimento, centrándose únicamente en especies azules o rojas.

El orador concluye que el experimento, extrayendo un pez para determinar su especie, arroja solo dos posibles resultados: azul o rojo. El espacio muestral abarca todos los resultados potenciales, enfatizando la simplicidad de verificar especies azules o rojas sin considerar otros factores como el género.

Cuando una serie de eventos completan el espacio muestral juntos, son colectivamente exhaustivos. Por otro lado, cuando dos eventos se intersectan y su intersección es nula, son mutuamente excluyentes. Si ocurre un evento, el otro no puede, y estos son conocidos como eventos mutuamente excluyentes.

Eventos que son colectivamente exhaustivos y mutuamente excluyentes forman una partición del espacio muestral. Esto significa que cuando estos eventos ocurren, cubren todo el espacio muestral sin superposición, creando una división completa de posibles resultados.

En la discusión, la terminología de 'azul' y 'rojo' ha sido reemplazada por '1' y 'asuntos' respectivamente. Esta actualización refleja un cambio hacia el uso de términos estadísticos para claridad y consistencia en el análisis.

Un nuevo experimento es introducido donde el objetivo es determinar el género de un pez extrayéndolo de un acuario. Los resultados son binarios: el pez es o macho o hembra. Estos resultados se definen como eventos 'A' para macho y 'complemento de A' para hembra.

Realizando cambios en el diagrama reemplazando las instancias de 'macho' con 'p' y las instancias de 'hembra' con 've' marcadas con una línea arriba. El enfoque está en refinar el diagrama para que sea más elegante y eliminar por completo las referencias a 'macho'.

Discutiendo el cálculo de probabilidad relacionado con eventos que ocurren en una secuencia. Explicando la fórmula que implica probabilidades de eventos en diferentes etapas y enfatizando el enfoque paso a paso para llegar a una forma más extendida del teorema de valles.

Ajustando la notación matemática introduciendo un símbolo de suma en el denominador para manejar elegantemente el cálculo. Explicando la inclusión de términos para diferentes escenarios y el proceso iterativo involucrado en el cálculo.

Ampliando el cálculo de probabilidad para considerar escenarios más allá del primer evento. Demostrando el ajuste en la notación al reemplazar '1' con '2' para calcular probabilidades de diferentes eventos en la secuencia, mostrando un enfoque más complejo pero estructurado para el cálculo.

El orador inicialmente calculó una fórmula utilizando J&J JP, luego la revisó para incluir sub 1 y sub 2. Mencionaron la posibilidad de crear una fórmula más general que considere tanto sub 1 como sub 2, permitiendo flexibilidad en los valores.

Además de ser ingeniero, maestro, policía y doctor, el orador afirmó humorísticamente tener experiencia en crear peces. Mencionaron la popularidad de los peces rosados sobre los azules y rojos, indicando un cambio en las tendencias.

El orador discutió la expansión de un diagrama de árbol de probabilidad para incluir hasta 3 eventos, introduciendo un nuevo evento sub 3. Hicieron hincapié en la necesidad de que los eventos sean colectivamente exhaustivos y mutuamente excluyentes para cálculos precisos.

El orador explicó una ligera modificación en la fórmula para el teorema de valles debido a la inclusión de un tercer evento. El rango de la variable j cambió para acomodar la nueva partición formada por tres eventos.

El orador expresó una preferencia por cocinar pescado naranja, especialmente para hacer ceviche peruano. Mencionaron humorísticamente que el pescado rosa, aunque decorativo, no es ideal para cocinar.

El orador discutió humorísticamente la adición de varias especies de peces, tiburones, ballenas y cabras a su acuario. Enfatizó su experiencia en la creación de poblaciones de peces diversas, lo que lleva a una expansión continua de especies en el acuario.

El orador presenta la especie de tilapia como la última incorporación al mundo acuático, siguiendo la inclusión de varias otras especies como ballenas, tiburones, tortugas y más. La especie de tilapia marca la finalización del ecosistema.

El orador discute el Teorema de Bayes en estadística, destacando la diferencia entre las formas simple y extendida. Mientras que la forma simple es más fácil de trabajar y suficiente para resolver problemas, la forma extendida es comúnmente utilizada por profesores universitarios y se puede encontrar en la mayoría de los libros de estadística.

El orador explica la declaración formal del Teorema de Bayes en su forma extendida. El teorema establece la probabilidad de un evento A dado que ha ocurrido el evento B, considerando un conjunto de eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos que forman una partición del espacio muestral con probabilidades no nulas.

El orador compara las formas simple y extendida del Teorema de Bayes, enfatizando que la forma simple es mucho más fácil de usar, especialmente en exámenes. Mientras que la forma extendida es más compleja, comúnmente se enseña en universidades y se encuentra en libros de estadística.

El presentador promete subir una segunda parte del Teorema de Bayes con problemas más desafiantes si el video recibe muchas vistas, comentarios y "me gusta". Se anima a los espectadores a suscribirse al canal para más videos del curso de estadística.